Для решения этой задачи использовался один из ведущих пакетов расчета напряженно-деформированного состояния объекта методом конечных элементов — MSC.Nastran.

При моделировании исследуемого объекта (зуба) был принят ряд допущений:

  • влиянием податливости корней пренебрегаем: рассматривалась верхняя часть зуба, ограниченная снизу плоскостью, проходящей через центр пульповой камеры;
  • влиянием податливости десны пренебрегаем: основание рассматриваемой модели закреплялось жестко (запрещены как смещения, так и повороты относительно всех осей);
  • влиянием податливости контактного материала между пломбой и тканями зуба пренебрегаем: связь между ними осуществляется без всяких дополнительных связующих элементов;
  • расчет выполнен в предположении упругой работы материала (даже за физическим пределом текучести);
  • анализ деформаций тканей зуба не производился.

Исследование осуществлялось на конечно-элементной (КЭ) модели стандартного слепка первого нижнего зуба (моляра):

  • высота ≈ 8,46 мм;
  • ширина ≈ 8,9−12,2 мм;
  • толщина ≈ 13,12 мм;
  • диаметр пульпы ≈ 4 мм.

Численный эксперимент состоял из нескольких этапов: создание трехмерной геометрической модели зуба, а на ее основе — геометрической КЭ-модели, описание внешних воздействий и граничных условий для КЭ-модели, расчет и анализ полученных результатов.

На первом этапе создавалась компьютерная геометрическая модель зуба, то есть была произведена оцифровка объекта. Процесс подразделялся на несколько шагов: дробление объекта по высоте на слои, съемка геометрии каждого слоя в отдельности, ввод полученной числовой информации в AutoCAD, создание на основе этой информации трехмерной твердотельной модели.

Далее формировалась собственно КЭ-модель — основа для расчета НДС (для этого был использован пространственный элемент типа Solid пирамидальной формы). Модель выполнена с высокой точностью: в ней насчитывается более 50 000 элементов и 10 000 узлов. Учитывались следующие особенности строения зуба: дентин, эмаль, пульпа, вкладка. Первый, второй и четвертый элементы отличаются по физико-механическим свойствам:

  • дентин: Е = 14 700 МПа, Rc, t = 305 МПа, ν = 0,31;
  • эмаль: Е = 46 000 МПа, Rc, t = 261 МПа, ν = 0,31;
  • керамика: Е = 14 700 МПа, Rc, t = 305 МПа, ν = 0,31;
  • композит: Е = 6 000 МПа, Rc, t = 305 МПа, ν = 0,3.

Чтобы выяснить, каким образом различного вида поражения зуба влияют на его НДС, был создан и проанализирован ряд КЭ-моделей, отличающихся глубиной и формой вкладки, а также ее материалом. Рассмотрены следующие расчетные модели:

а) круглая вкладка диаметром 6 мм, что составляет ≈ 0,5 ширины зуба; глубина не доходит до пульпы около 1,2 мм, глубина принята за единицу глубины вкладки (ГВ);
б) круглая вкладка, глубина 0,75*ГВ;
в) круглая вкладка, глубина 0,5*ГВ
г) вкладка, покрывающая две поверхности (МО или ОД), глубиной 0,5*ГВ;
д) вкладка, покрывающая три поверхности (МОД), глубиной 0,5*ГВ.

На основе этих КЭ-моделей созданы два набора, отличающихся типом материала вкладки: композит и керамика.

На третьем этапе к полученным КЭ-моделям были приложены реальные жевательные нагрузки:

  1. 25 кг в вертикальном направлении (ось Z).
  2. 10 кг в горизонтальном направлении (ось Y).

Все внешние воздействия прикладывались к окклюзионной (жевательной) поверхности. В силу неравномерности расположения на ней узловых точек неравномерно приложена и нагрузка к модели. Наблюдаются зоны концентраций напряжений в зонах с изменением геометрии. Впрочем, это отражает реальную неравномерность загрузки зуба в процессе жевания.

Кроме указанных расчетов, выполнен расчет на усадку композитной вкладки, покрывающей две поверхности (МО или ОД) с величиной линейной усадки 2% в поперечном направлении.

Для всех расчетов выполнялось построение распределения напряжений в тканях зуба по следующим величинам:

  • нормальные напряжения вдоль оси X;
  • нормальные напряжения вдоль оси Y;
  • нормальные напряжения вдоль оси Z;
  • интегральные напряжения по критерию Вон-Мизеса.

Эпюры напряжений построены для всех видов загружений и всех видов КЭ-моделей.

Анализ НДС модели зуба

Анализ НДС здорового зуба показал, что максимальные интегральные напряжения, рассчитанные по критерию Вон-Мизеса, не превышают 60−80 МПа, что значительно меньше прочности тканей зуба. Эпюры напряжений, приведенные на рис. 1, наглядно демонстрируют хорошую совместную работу тканей зуба. В НДС просматривается тенденция к равномерному распределению напряжений по объему объекта, что отсутствует в НДС моделей зуба с вкладками.

Рис. 1. НДС здорового зуба; эпюры нормальных напряжений по осям Y и Z, в МПа
Рис. 1. НДС здорового зуба; эпюры нормальных напряжений по осям Y и Z, в МПа
Рис. 1. НДС здорового зуба; эпюры нормальных напряжений по осям Y и Z, в МПа
Рис. 1. НДС здорового зуба; эпюры нормальных напряжений по осям Y и Z, в МПа

Сравнение НДС моделей зуба, в котором наличествует различной глубины круглая вкладка, показало, что оно (состояние) практически не изменяется. Заметна тенденция к небольшому увеличению напряжения в тканях зуба при увеличении глубины вкладки до некоторого порога, а затем — к его уменьшению. Это объясняется тем, что, уменьшая сечение зуба, мы уменьшаем его сопротивляемость внешним воздействиям, а закрепление вкладки в массиве недостаточно. При глубине вкладки 1*ГВ наблюдается, как уже сказано, некоторое уменьшение интенсивности напряжений, обусловленное лучшей совместной работой тканей зуба и вкладки. Характерные примеры распределения эпюр приведены на рис. 2 и 3 — для керамических и композитных вкладок соответственно.

Рис. 2. Изменение интегральных напряжений в тканях зуба с керамической вкладкой при ее глубине 0,5, 0,75 и 1 ГВ соответственно (напряжения приведены для суммы двух внешних загружений)
Рис. 2. Изменение интегральных напряжений в тканях зуба с керамической вкладкой при ее глубине 0,5, 0,75 и 1 ГВ соответственно (напряжения приведены для суммы двух внешних загружений)
Рис. 2. Изменение интегральных напряжений в тканях зуба с керамической вкладкой при ее глубине 0,5, 0,75 и 1 ГВ соответственно (напряжения приведены для суммы двух внешних загружений)
Рис. 2. Изменение интегральных напряжений в тканях зуба с керамической вкладкой при ее глубине 0,5, 0,75 и 1 ГВ соответственно (напряжения приведены для суммы двух внешних загружений)
Рис. 2. Изменение интегральных напряжений в тканях зуба с керамической вкладкой при ее глубине 0,5, 0,75 и 1 ГВ соответственно (напряжения приведены для суммы двух внешних загружений)
Рис. 2. Изменение интегральных напряжений в тканях зуба с керамической вкладкой при ее глубине 0,5, 0,75 и 1 ГВ соответственно (напряжения приведены для суммы двух внешних загружений)

Во всех вариантах четко просматривается тенденция менее напряженного состояния вкладки по отношению к тканям зуба. Этот факт объясняется просто: вкладки имеют другие физико-механические показатели — материал, менее жесткий по отношению к окружающим тканям. Соответственно вкладка воспринимает меньшую долю внешней нагрузки. При создании вкладки необходимо помнить, что ее материал является в большей степени формообразующим, а не несущим. Допускать значительное отношение площади вкладки к площади здорового зуба не следует.

Рис. 3. Изменение нормальных напряжений по оси Y в тканях зуба с композитной вкладкой при ее глубине 0,5, 0,75 и 1 ГВ соответственно (напряжения приведены для горизонтального загружения)
Рис. 3. Изменение нормальных напряжений по оси Y в тканях зуба с композитной вкладкой при ее глубине 0,5, 0,75 и 1 ГВ соответственно (напряжения приведены для горизонтального загружения)
Рис. 3. Изменение нормальных напряжений по оси Y в тканях зуба с композитной вкладкой при ее глубине 0,5, 0,75 и 1 ГВ соответственно (напряжения приведены для горизонтального загружения)
Рис. 3. Изменение нормальных напряжений по оси Y в тканях зуба с композитной вкладкой при ее глубине 0,5, 0,75 и 1 ГВ соответственно (напряжения приведены для горизонтального загружения)
Рис. 3. Изменение нормальных напряжений по оси Y в тканях зуба с композитной вкладкой при ее глубине 0,5, 0,75 и 1 ГВ соответственно (напряжения приведены для горизонтального загружения)
Рис. 3. Изменение нормальных напряжений по оси Y в тканях зуба с композитной вкладкой при ее глубине 0,5, 0,75 и 1 ГВ соответственно (напряжения приведены для горизонтального загружения)

Увеличение вкладки в горизонтальном направлении (МО, ОД и МОД) значительно перераспределяет напряжения в тканях зуба и вкладке: наблюдается увеличение интенсивности напряжений в зубе.

Материал вкладки не оказывает существенного влияния на НДС модели зуба: напряжения в керамической вкладке и тканях зуба ненамного (на несколько процентов) ниже, чем в случае композитной вкладки. Отметим еще, что напряжения во вкладке меньше, чем в окружающих тканях зуба, — этот факт уже отмечался выше. Максимальные напряжения составляют порядка 81 МПа, что меньше предельно допустимых величин. Характерные эпюры для указанных моделей приведены на рис. 4.

Рис. 4. Изменение интегральных напряжений в тканях зуба с вкладкой типа МО, ОД - керамической и композитной соответственно (напряжения приведены для суммы двух загружений)
Рис. 4. Изменение интегральных напряжений в тканях зуба с вкладкой типа МО, ОД - керамической и композитной соответственно (напряжения приведены для суммы двух загружений)
Рис. 4. Изменение интегральных напряжений в тканях зуба с вкладкой типа МО, ОД - керамической и композитной соответственно (напряжения приведены для суммы двух загружений)
Рис. 4. Изменение интегральных напряжений в тканях зуба с вкладкой типа МО, ОД - керамической и композитной соответственно (напряжения приведены для суммы двух загружений)

При анализе НДС модели зуба с вкладкой типа МОД были выявлены следующие закономерности:

  1. Напряжения в модели с композитной вкладкой несколько больше, чем в модели с керамической: 13,79 против 11,79 МПа.
  2. Распределение напряжений почти одинаково, зоны с концентрациями напряжений практически отсутствуют.
  3. Напряжения в тканях зуба и во вкладке не превышают соответствующих предельно допустимых значений: 81 МПа против 261 (305) МПа.

Характерные эпюры напряжений приведены на рис. 5.

Рис. 5. Изменение нормальных напряжений по оси Y в тканях зуба с вкладкой типа МОД - композитной и керамической соответственно (напряжения приведены для суммы двух загружений)
Рис. 5. Изменение нормальных напряжений по оси Y в тканях зуба с вкладкой типа МОД - композитной и керамической соответственно (напряжения приведены для суммы двух загружений)
Рис. 5. Изменение нормальных напряжений по оси Y в тканях зуба с вкладкой типа МОД - композитной и керамической соответственно (напряжения приведены для суммы двух загружений)
Рис. 5. Изменение нормальных напряжений по оси Y в тканях зуба с вкладкой типа МОД - композитной и керамической соответственно (напряжения приведены для суммы двух загружений)

Для всех моделей нужно отметить еще одну особенность: в зоне контакта двух различных материалов (дентин и эмаль) наблюдаются яркие зоны концентраций напряжений, что можно увидеть на всех приведенных эпюрах. Явление это вполне закономерно: в таких местах наблюдается резкое, в несколько раз, изменение модуля Юнга. При создании вкладки ее не следует выводить к таким зонам!

Анализ расчетов позволил сделать следующие выводы:

  • напряженное состояние здорового зуба (в сравнении с пломбированным) отличается меньшим уровнем напряжений в тканях, равномерным распределением напряжений по его высоте и глубине;
  • вкладка оказывает значительное влияние на НДС зуба, ткани зуба становятся более загруженными, тогда как уровень напряжений во вкладке ниже, чем в окружающих ее тканях; они равномерно изменяются по объему;
  • существенных отличий в НДС зубов с вкладками из разных материалов (керамика и композит) не выявлено;
  • наличие усадочных явлений в композитных вкладках придает зубу большие дополнительные напряжения. Так, при линейной усадке 2% и ширине вкладки 0,58 от ширины зуба (в нашем конкретном случае 6,96 и ≈ 11,97 мм соответственно) напряжения в тканях зуба превышают предельно допустимые в десятки раз, что в реальных условиях приведет к разрушению пломбы и зуба!